Question

5．如图，矩形纸片ABCD中，AB=$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{10}$．某课题小组利用这张矩形纸片依次进行如下操作（每次折叠后均展开）．
如图①，第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交与点O₁，设O₁D的中点为D₁；
如图②，第二次将纸片折叠，使点B与点D₁重合，折痕与BD交与点O₂，设O₂D₃的中点为D₂；
如图③，第三次将纸片折叠，使点B与点D₂重合，折痕与BD交与点O₃，设O₃D₂的中点为D₃；
…
根据以上操作结果，回答下列问题：
（1）如图①，MN是折痕，求证：△DA′M≌△DCN；
（2）分别求出线段BO₁、BO₂、BO₃的长，并直接写出第n次折叠后BO_n的长（用含n的式子表示）；
（3）如图②，第二次折叠时，折痕一定会经过点A吗？请通过计算判断．

Answer 1

分析 （1）首先证明DM=DN，再根据AAS即可判断．
（2）根据题意求出BO₁、BO₂、BO₃，寻找规律后即可解决问题．
（3）结论：第二次折叠时，折痕一定会经过点A．作AE⊥BD垂足为E，求出BE的长，证明点E与点O₂重合即可．

解答 （1）证明：如图①中，

∵四边形MNDA′是由四边形MNBA翻折得到，
∴∠ABN=∠A′DN=90°，∠BNM=∠MND，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BNM=∠DMN=∠DNM，
∴DM=DN，
∵∠A′DN=∠ADC，
∴∠A′DM=∠NDC，
在△DA′M和△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A′DM=∠NDC}\\{∠A′=∠C=90°}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMA′≌△DNC．

（2）如图③中，
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=$\sqrt{6}$，BC=AD=$\sqrt{10}$，
∴BD=$\sqrt{C{B}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{16}$=4，
∵BO₁=O₁D=$\frac{1}{2}$BD=2=$\frac{{3}^{1-1}}{{2}^{2×1-3}}$，
BO₂=$\frac{1}{2}$BD₁=$\frac{3}{2}$=$\frac{{3}^{2-2}}{{2}^{2×2-3}}$，
BO₃=$\frac{1}{2}$BD₂=$\frac{9}{8}$=$\frac{{3}^{3-1}}{{2}^{2×3-3}}$，
…
BO_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{2}^{2n-3}}$．

（3）如图②中，结论：第二次折叠时，折痕一定会经过点A．
理由：作AE⊥BD垂足为E．

∵∠AEB=∠BAD=90°，∠ABE=∠BAD，
∴△ABE∽△DBA，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BA}{BD}$，
∴$\frac{BE}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$，
∵BO₂=$\frac{3}{2}$，
∴点E与点O₂重合，
∴第二次折叠时，折痕一定会经过点A．

点评 本题考查四边形的综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．