Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=$\frac{1}{2}$AC，∠BAC的平分线交DE于F．求证：△AEF是等腰三角形．

Answer 1

分析 连接BD，根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=DC=BD，进一步得出BD=BE，∠DAB=∠ABD=2∠FAE；进而证得∠FAE=∠BEF，即可证得结论．

解答 证明：连接BD，
∵BD是Rt△ABC中AC边上的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AD=DC，
∴AD=DC=BD，
∴∠DAB=∠ABD=2∠FAE；
∵BE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BD=BE，
∴∠BED=∠BDE；
∴∠ABD=2∠BED；
∴∠FAE=∠BEF，
∴AF=EF，
∴△AEF是等腰三角形．

点评 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质的应用，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．