Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-3，2）、B（1，2）．
（1）求此抛物线的对称轴方程；
（2）设该抛物线的顶点为P，且P到AB的距离为2，求此抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）根据点A、B的纵坐标相等，利用抛物线的对称性列式计算即可得解；
（2）分点P在AB的上方和下方两种情况求出顶点的坐标，再利用顶点式解析式求解即可．

解答：解：（1）∵点A（-3，2）、B（1，2）的纵坐标都是2，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴对称轴方程为直线x=

-3+1

2

=-1，
即直线x=-1；

（2）当点P在AB的上方时，∵P到AB的距离为2，
∴点P的纵坐标为2+2=4，
∴点P的坐标为（-1，4），
设y=a（x+1）²+4，
则a（-3+1）²+4=2，
解得a=-

1

2

，
抛物线解析式为y=-

1

2

（x+1）²+4；
当点P在AB的下方时，∵P到AB的距离为2，
∴点P的纵坐标为2-2=0，
∴点P的坐标为（-1，0），
设y=a（x+1）²，
则a（-3+1）²=2，
解得a=

1

2

，
抛物线解析式为y=

1

2

（x+1）²，
综上所述，此抛物线的解析式y=-

1

2

（x+1）²+4或y=

1

2

（x+1）²．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和待定系数法求二次函数解析式，难点在于（2）分情况求出顶点P的坐标并利用顶点式解析式求解．