Question

如图，抛物线y=ax²+4经过x轴上的一点A（-2，0），抛物顶点为点C，P是抛物线上的一动点．过P（不与B重合）作x轴垂线，垂足为点M，如图，若△AMC为等腰三角形，求P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：把点A坐标代入抛物线解析式求出a的值，再求出点C的坐标，利用勾股定理列式求出AC，然后分AC=AM，AC=CM，AM=CM三种情况讨论求解得到点M的横坐标，再代入抛物线解析式计算求出点P的纵坐标，从而得解．

解答：解：∵抛物线y=ax²+4经过x轴上的一点A（-2，0），
∴4a+4=0，
解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²+4，
令x=0，则y=4，
∴点C（0，4），OC=4，
由勾股定理得，AC=

22+42

=2

5

，
①AC=AM时，点M的横坐标为2

5

-2或-2

5

-2，
∵点PM⊥x轴，
∴点P的纵坐标为：-（2

5

-2）²+4=-20+8

5

，
或-（-2

5

-2）²+4=-20-8

5

，
∴点P的坐标为（2

5

-2，-20+8

5

）或（-2

5

-2，-20-8

5

）；
②AC=CM时，OA=OM，此时点B、M重合，不符合题意；
③AM=CM时，AM=

1

2

AC÷cos∠OAC=

1

2

×2

5

÷

2

2 5

=5，
∴点M的横坐标为5-2=3，
∵∵点PM⊥x轴，
∴点P的纵坐标为：-3²+4=-5，
∴点P的坐标为（3，-5），
综上所述，点P的坐标为（2

5

-2，-20+8

5

）或（-2

5

-2，-20-8

5

）或（3，-5）．

点评：本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，难点在于根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论．