Question

15．已知矩形ABCD，AB=8，BC=4，将它绕着点B按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180）得到矩形A₁BC₁D₁，此时A₁B，C₁D₁这两边所在的直线分别与CD边所在的直线相交于点P、Q，当DP：DQ=1：2时，DP的长为5或1+$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明四边形PMBC、四边形PBC′N均是矩形；其次证明△BPM≌△QPN，得到PB=PQ，此为解决问题的关键性结论；证明DP=PQ=PB；设DP=λ，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．

解答 解：情况一：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥C′D′；
则四边形PMBC、四边形PBC′N均是矩形，
∴∠PNQ=∠PMB=∠CPM=∠C′NP=90°；
PM=BC=BC′=PN；
∴∠BPM=90°-∠BPC=∠QPN；
在△BPM与△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPB=∠NPQ}\\{PM=PN}\\{∠PMB=∠PNQ}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△QPN，
∴PB=PQ；而DP：DQ=1：2，
∴DP=PQ=PB；设DP=λ，
则PB=λ，CP=8-λ；在Rt△BCP中，
PB²=PC²+BC²，
即λ²=（8-λ）²+4²，
解得：λ=5，即DP=5，

情况二：如图

同理求得DP=1+$\sqrt{11}$，DP=1-$\sqrt{11}$（舍去）
故答案为5或1+$\sqrt{11}$．

点评 该题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转变换的性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用矩形的性质、旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．