Question

3．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟10米，乙在A地提速时距地面的高度b为30米；
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）登山多长时间时，乙追上了甲？

Answer 1

分析 （1）甲的速度=（300-100）÷20=10，根据图象知道一分的时间，走了15米，然后即可求出A地提速时距地面的高度；
（2）乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，所以乙的速度是30米/分．那么求出点B的坐标，加上点A的坐标代入一次函数解析式即可求出乙的函数解析式，把C、D坐标代入一次函数解析式可求出甲的函数解析式；
（3）由（2）AB、CD的解析式建立二元一次方程组，求出方程组的解就求出了以追上甲的时间．

解答 解：（1）甲的速度为：（300-100）÷20=10米/分，
根据图中信息知道乙一分的时间，走了15米，
那么2分时，将走30米，
∴b=30，
故答案为：10，30．
（2）由图知：x=$\frac{300-30}{30}$+2=11，
设CD的解析式为：y=k₁x+b₁，
∵C（0，100），D（20，300）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=100}\\{20{k}_{1}+{b}_{1}=300}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=10}\\{{b}_{1}=100}\end{array}\right.$
∴线段CD的解析式：y_甲=10x+100（0≤x≤20）；
当0≤x≤2时，y_乙=15x；
当2≤x≤11时，设直线AB的解析式为：y=k₂x+b₂
∵A（2，30），B（11，300），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{2}+{b}_{2}=30}\\{11{k}_{2}+{b}_{2}=300}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=30}\\{{b}_{2}=-30}\end{array}\right.$
∴y=30x-30，
∴折线OAB的解析式为：${y}_{乙}=\left\{\begin{array}{l}{15x（0≤x≤2）}\\{30x-30（2≤x≤11）}\end{array}\right.$；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=30x-30}\\{y=10x+100}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=6.5}\\{y=165}\end{array}\right.$，
∴登山6.5分钟时乙追上甲．

点评 本题是一道一次函数的综合试题，考查了行程问题中路程=速度×时间的关系变化的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法．在解答中注意线段的解析式要确定自变量的取值范围．