Question

20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y═$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（0，-1），B（2，0）P（t，0）是x轴负半轴上一动点，过点P作PA的垂线交△PAB的外接圆于点C，△PAB的外接圆与y轴交于点D，与抛物线在第一象限限交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PAB的外接圆的圆心落在y轴上时，求该圆的半径；
（3）用含t的式子表示C、D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点的坐标代入可求得b、c的值，可求得抛物线的解析式；
（2）由条件可知PA=PB，可求得P点坐标，由勾股定理可求得半径；
（3）可先证明△AOB∽△APC，可求得$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，过P作y轴的平行线，分别过A、C作其垂线，垂足分别为G、F，则AG=-t，GP=1，可用t表示出PF、CF，可求得C点坐标，又结合条件可证明∠CDA=90°，可表示出D点坐标．

解答 解：（1）把A（0，-1），B（2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-1=c}\\{0=2+2b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1；
（2）当△PAB的外接圆的圆心落在y轴上时，AP=AB，此时P（-2，0），
设圆的半径为r，则（r-1）²+2²=r²，
解得r=2.5；
（3）∵∠ACP=∠ABP，且∠AOB=90°=∠APC，
∴△AOB∽△APC，
∴$\frac{AP}{AO}$=$\frac{PC}{OB}$，即$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠APC=90°，
∴∠APG+∠CPF=∠CPF+∠PCF=90°，
∴∠APG=∠PCF，且∠AGP=∠CFP，
∴△APG∽△PCF，
∴$\frac{AG}{PF}$=$\frac{PG}{CF}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
如图，过P作y轴的平行线，分别过A、C作其垂线，垂足分别为G、F，则AG=-t，GP=1，

∴PF=-2t，CF=2，
∴C（2+t，-2t），
连接CD，
∵∠APC=90°，
∴AC为直径，
∴∠CDA=90°，
∴D（0，-2t）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识点．在（1）中注意待定系数法应用的步骤，在（2）中注意垂径定理的应用，在（3）中，注意圆周角定理的应用．本题考查知识较为基础，难度不大．