Question

5．等腰梯形底角为α，以腰长为直径作圆与另一腰切于M，交较长底边AB于E，则$\frac{BE}{AE}$的值为（　　）

• A． 2sinαcosα
• B． sinα
• C． cosα
• D． cos2α

Answer 1

分析 作EH⊥AD于H，连结OM、CE、OE，如图，设⊙O的半径为R，根据圆周角定理得到∠CEB=90°，再根据切线的性质得OM⊥AD，接着根据等腰梯形的性质得∠ABC=∠A=α，由于∠OEB=∠B=α，则∠OEB=∠A，所以OE∥AD，于是可判断四边形OMHE为正方形，得到HE=OE=R，根据锐角三角函数的定义，在Rt△AEH中得到AE=$\frac{R}{sinα}$，在Rt△BCE中得到BE=2Rcosα，然后计算$\frac{BE}{AE}$的值．

解答 解：作EH⊥AD于H，连结OM、CE、OE，如图，设⊙O的半径为R，
∵BC为直径，
∴∠CEB=90°，
∵AD为⊙O的切线，
∴OM⊥AD，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠ABC=∠A=α，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠B=α，
∴∠OEB=∠A，
∴OE∥AD，
∴四边形OMHE为矩形，
而OM=OE，
∴四边形OMHE为正方形，
∴HE=OE=R，
在Rt△AEH中，∵sinA=$\frac{HE}{AE}$，
∴AE=$\frac{R}{sinα}$，
在Rt△BCE中，∵cosB=$\frac{BE}{BC}$，
∴BE=2Rcosα，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{2Rcosα}{\frac{R}{sinα}}$=2sinαcosα．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．合理构造直角三角形，应用锐角三角函数的定义进行计算是关键．