Question

5．如图，已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OD，∠1=∠2=∠3，∠BAC=90°，DH⊥BC于H，DH交AC于E．
（1）求证：AB=DC；
（2）求证：DE=$\frac{1}{2}$OC．

Answer 1

分析 （1）只要证明△AOB≌DOC即可．
（2）只要证明△ODE是等边三角形，△ODC是含有30度角的直角三角形即可解决问题．

解答 证明：（1）∵∠2=∠3，
∴OB=OC，
在△AOB和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOB=∠DOC}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌DOC，
∴AB=DC．

（2）∵△AOB≌△DOC，
∴∠ODC=∠BAO=90°，
∵∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠AOB=60°，
∵DH⊥BC，
∴∠EHC=90°，
∴∠DEO=∠CEH=60°，
∴△DOE是等边三角形，
∴OD=OE=DE，
在Rt△ODC中，∵∠ODC=90°，∠DCO=30°，
∴OC=2OD，∵OD=OE，
∴OE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$OC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．