Question

15．如图，一座抛物线型拱桥，桥面CD与水面平行，在正常水位时桥下水面宽OA为30米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到OC的水平距离和它到水面OA的距离都为5米．
（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
（2）求在正常水位时桥面CD距离水面的高度；
（3）一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计）．若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为：y=ax²+bx，将点B（5，5）、点A（30，0）代入求得a、b的值即可得抛物线解析式；
（2）将抛物线解析式配方可得其最大值，即最大高度；
（3）使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥则y=7，求得x的值，即可的货箱的最大宽度．

解答 解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax²+bx，
将点B（5，5）、点A（30，0）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=5}\\{900a+30b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{25}}\\{b=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$．
故抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{25}$x²+$\frac{6}{5}$x；
（2）∵y=-$\frac{1}{25}$x²+$\frac{6}{5}$x=-$\frac{1}{25}$（x-15）²+9，
∴当x=15时，y取得最大值，最大值为9，
故在正常水位时桥面CD距离水面的高度为9米；
（3）根据题意，当y=7时，有-$\frac{1}{25}$x²+$\frac{6}{5}$x=7，
解得：x₁=15+5$\sqrt{2}$，x₂=15-5$\sqrt{2}$，
则货箱最宽为：15+5$\sqrt{2}$-（15-5$\sqrt{2}$）=10$\sqrt{2}$米．
答：若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为10$\sqrt{{2}_{\;}}$米．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键，结合题意理解不同水位对应的函数关系是解题的关键．