已知:矩形ABCD中.AC与BD交于O点.∠BAC=30°.过O作OE⊥BC.垂足为E．(1)OE与BC的数量关系是DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．(2)点P是BC上的一动点连结OP.将线段OP绕O顺时针旋转60°得线段OF.连结BF.请猜想BF.BP.OE三者之间的关系.并加以证明．(3)若P在直线BC上运动按照(2)中的作法.条件不变.请直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知：矩形ABCD中，AC与BD交于O点，∠BAC=30°，过O作OE⊥BC，垂足为E．
（1）OE与BC的数量关系是DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．
（2）点P是BC上的一动点（不与B、C重合）连结OP，将线段OP绕O顺时针旋转60°得线段OF，连结BF，请猜想BF、BP、OE三者之间的关系，并加以证明．
（3）若P在直线BC上运动按照（2）中的作法，条件不变，请直接写出BF、OE、BP三者之间的关系，不必证明．

分析（1）由∠ABC=90°，∠BAC=30°得到∠ACB=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到OB=OC，则可判断△OCB为等边三角形，由于OE⊥BC，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；
（2）根据旋转的性质得到∠POF=60°，OP=OF，易得∠COP=∠BOF，则可根据“SAS”可判断△OCP≌△OBF，则CP=BF，利用CP=BC-BPODE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC可得到BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE；
（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，然后分点P是线段BC延长线上一动点或点P是线段CB延长线上一动点，于是得到结论．

解答解：（1）∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∵点O是AC的中点，
∴OB=OC，
∴△OCB为等边三角形，
∵OE⊥BC，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；
故答案为：DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；

（2）如图2，BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．理由如下：
∵线段OP绕点O顺时针旋转60°，得到线段OF，
∴∠POF=60°，OP=OF，
而∠COB=60°，
∴∠COB-∠POB=∠POF-∠POB，
∴∠COP=∠BOF，
在△OCP和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COP=∠BOF}\\{OP=OF}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△OBF（SAS），
∴CP=BF，
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE，
∴BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE；

（3）如图3，
点P是线段BC延长线上一动点，
与（2）一样可证明△OCP≌△OBF，
∴CP=BF，
而CP=BP-BC，
∴BP-BF=BC，
∴BP-BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE，；
如图4，点P是线段CB延长线上一动点与（2）一样可证明△OCP≌△OBF，
∴CP=BF，
∵CP=BP+BC，
∴BF-BP=BC，
∴BF-BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OE．