Question

9．如图，K为矩形ABCD的CD边外的一点，连线KA、KB均与CD边相交，过D作KB的垂线，垂足为E，过C作KA的垂线，垂足为F，若DE、CF交于点M，求证：KM⊥AB．

Answer 1

分析 如图，连接KM，EF，作矩形ABCD的外接圆，只要证明A、B、C、E、F、D共圆，可得∠DAK=∠DCF=∠DEF=∠MKF，推出AD∥KM，即可解决问题．

解答 解：如图，连接KM，EF，作矩形ABCD的外接圆，

∵四边形ABCD是矩形，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵∠ADC=∠AFC=90°，∠DCB=∠DEB=90°，
∴A、D、F、C四点共圆，D、E、C、B四点共圆，
∴A、B、C、E、F、D共圆，
∴∠DAK=∠DCF=∠DEF=∠MKF，
∴AD∥KM，
∵AD⊥AB，
∴KM⊥AB．

点评 本题考查矩形的性质、四点共圆、平行线的判定等知识，解题的关键是发现A、B、C、E、F、D共圆，利用同弧所对的圆周角相等解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．