Question

14．已知实数a，b，c满足$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$=1，则$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$=0．

Answer 1

分析 设a+b+c=d，则有a=d-（b+c），b=d-（a+c），c=d-（a+b），然后把它们代入到所求分式，化简后就可解决问题．

解答 解：设a+b+c=d，则有a=d-（b+c），b=d-（a+c），c=d-（a+b）．
∵$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$=1，
∴$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$=$\frac{a}{b+c}$•a+$\frac{b}{c+a}$•b+$\frac{c}{a+b}$•c
=$\frac{a}{b+c}$•[d-（b+c）]+$\frac{b}{c+a}$•[d-（a+c）]+$\frac{c}{a+b}$•[d-（a+b）]
=$\frac{a}{b+c}$•d-a+$\frac{b}{c+a}$•d-b+$\frac{c}{a+b}$•d-c
=d（$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$）-（a+b+c）
=d（$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$）-d
=d（$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{c+a}$+$\frac{c}{a+b}$-1）
=0，
故答案为：0．

点评 本题考查了求分式的值，有一定的技巧性，而解决本题的关键是把a+b+c看成一个整体，从而把所求分式与条件联系起来．