Question

14．某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）

Answer 1

分析 根据题意可以建立适当的平面直角坐标系，从而可以得到抛物线的解析式，然后根据要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，可以得到当x=-3时，求出相应的y值，此时汽车的顶部离隧道的顶部距离至少是0.5米，从而可以求得车辆经过隧道时的限制高度是多少米．

解答 解：如右图所示，建立平面直角坐标系，
抛物线顶点O的坐标是（0，0），
设抛物线的解析式为：y=ax²，
又∵点（-4，-4）在此抛物线上，
∴-4=a×（-4）²，得a=$-\frac{1}{4}$，
∴$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}$，
将x=-3代入$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}$，得y=-$\frac{9}{4}$，
又∵行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，
∴车辆经过隧道时的限制高度是：6-$\frac{9}{4}$-0.5=$\frac{13}{4}$=3.25≈3.2米，
即车辆经过隧道时的限制高度是3.2米．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，建立适当的平面直角坐标系，找出所求问题需要的条件．