Question

6．过⊙0上一点A作⊙0的切线l∥弦BC，过C作直线m⊥l于F，交⊙0于点E，
（1）试探求线段BC、AF的数量关系；
（2）如果2EF=EC，探讨BC、EC的数量关系；
（3）弧BC的度数是多大范围时，A、E在BC两侧．

Answer 1

分析 （1）连结AO并延长交BC于M，如图1，利用切线的性质得OA⊥l，再根据平行线的性质得AO⊥BC，则根据垂径定理得BM=CM，再证明四边形AMCF为矩形得到CM=AF，于是得到BC=2AF；
（2）过点O作OH⊥CE于H，连结OC，如图1，根据垂径定理得CH=EH，则利用CE=2EF得到CH=EH=EF，易得OC=OA=CE=2CH=2OM，在Rt△OMC中，利用勾股定理得CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC，所以∴BC=$\sqrt{3}$CE；
（3）当OA与BC的垂足点M在半径OA上时，A、E在BC两侧，易得弧BmC的度数．

解答 解：（1）连结AO并延长交BC于M，如图1，
∵l为切线，
∴OA⊥l，
∵l∥BC，
∴AO⊥BC，
∴BM=CM，
∵CF⊥l，
∴四边形AMCF为矩形，
∴CM=AF，
∴BC=2AF；
（2）过点O作OH⊥CE于H，连结OC，如图1，则CH=EH，
∵CE=2EF，
∴CH=EH=EF，
而OA=FH=2EF=CE，CH=OM，
∴OC=OA=CE=2CH=2OM，
在Rt△OMC中，∵CM=$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{C{E}^{2}-（\frac{1}{2}CE）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC，
∴BC=2CM=$\sqrt{3}$OC，
∴BC=$\sqrt{3}$CE；
（3）当弧BmC的度数大于180°小于360°时，A、E在BC两侧，如图2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决（2）小题的关键是构建垂径定理的图形．