Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D为AC的中点，E是线段AB边上一动点，连接ED、EC，则△CDE周长的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{5}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$+3
• D． 3$\sqrt{5}$+3

Answer 1

分析 过点D作D点关于直线AB的对称点D′，连接D′C，交AB于E，连接AD′，首先确定D′C=D′E+EC=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算．

解答 解：过点D作D点关于直线AB的对称点D′，连接D′C，交AB于E，连接AD′，
此时DE+CE=D′E+EC=D′C的值最小．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D为AC的中点，
∴∠BAC=45°，DC=3，
由对称性可知∠D′AE=∠DAE=45°，AD′=AD，
∴∠DAD′=90°，
∵D是AC边的中点，AC=6，
∴AD′=3，
根据勾股定理可得：D′C=$\sqrt{A{C}^{2}+AD{′}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴△CDE周长的最小值：DE+CE+DC=D′C+DC=3$\sqrt{5}$+3
故选D．

点评 此题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．