Question

11．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论：
①PD=DQ；②DE=$\frac{1}{2}$AC；③AE=$\frac{1}{2}$CQ；④PQ⊥AB
其中正确的有①②③．（填序号）

Answer 1

分析 作辅助线PF∥BC，由已知条件可得△APF也是等边三角形，从而可以推出△PFD≌△QCD，从而可得PD与DQ的关系，进而得到DE与AC的关系，AE与CQ的关系，由∠DEP=90°，∠EDP随着点P的变化而变化可以判断PQ与AB的关系．

解答 解：作PF∥BC交AC于点F，如下图所示：

∵△ABC是等边三角形，∠AFP=∠ACB=60°，
∴AP=PF，
∵PA=CQ，
∴FP=CQ，
∵PF∥BC，
∴∠FPD=∠CQD，
在△PFD和△QCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠CQD}\\{∠PDF=∠QDC}\\{FP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（AAS）
∴PD=QD，（故①正确）DF=DC，
∵△APF是等边三角形，PF⊥AC，
∴AE=EF，
∵DE=DF+EF，AE=EF，DF=CD，AC=AE+EF+FD+DC，
∴DE=$\frac{1}{2}AC$，（故②正确）
∵△APF是等边三角形，PF⊥AC，
∴AE=$\frac{1}{2}AP$，
∵AP=CQ，
∴AE=$\frac{1}{2}CQ$，（故③正确）
∵∠PDA的对边随着点P的变化而变化，而DE的值不变，∠PED=90°不变，∠A=60°不变，
∴∠PDA的正切值在变化，从而∠PDA在变化，
∴∠APD随着点P的变化而变化，
故④不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键由已知条件可以得到各边的关系，然后找出所求问题需要的条件．