Question

8．如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3米，且与灯柱BC成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想．问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果．（结果保留根号）

Answer 1

分析 延长BC、ED交于点F．先解Rt△DCF得到FC=2$\sqrt{3}$米，再解Rt△EBF得到BF=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$米，利用BC=BF-CF代入数据计算即可得到结论．

解答 解：延长BC、ED交于点F．
∵∠DCB=150°，
∴∠DCF=30°．
∵∠CDE=90°，
∴∠F=60°．
∵在Rt△DCF中，DC=3，∠DCF=30°，
∴$cos∠DCF=\frac{DC}{FC}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$FC=2\sqrt{3}$米，
∵AB=28米，E为AB的中点，
∴BE=14米．
∵在Rt△EBF中，BE=14，∠F=60°，
∴$cotF=\frac{FB}{BE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$BF=\frac{14}{3}\sqrt{3}$米，
∴$BC=BF-CF=\frac{14}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$米．
答：当灯柱高为$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$米时能取得最理想的照明效果．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，正确求出BF与CF的值是解题的关键．