Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠CAB=$\frac{1}{3}$，点O在AB上，且CB=CO=3，若Rt△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后得到Rt△BED，且E落在CO的延长线上，连接AD交CO的延长线于F，则AF的长为7．

Answer 1

分析 先由旋转的性质，判断出△BCE∽△BAD，得出结论再判断出△BOC∽△FOA，再用锐角三角函数求解即可

解答 解：如图，

由旋转得，∠ABC=∠DBE，BC=BE，BA=BD，
∴∠CBE=∠ABD，
∴△BCE∽△BAD，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠COB=∠AOF，
∴△BOC∽FOA，
∵OC=BC=3，
∴AO=AF．
作CI⊥AB，
∴∠BCI=∠BAC，BI=OI，
∴sin∠BCI=$\frac{BI}{BC}=\frac{BI}{3}$=sin∠BAC=$\frac{1}{3}$，
∴AB=9，BI=1=OI，BO=2，
∴AF=AO=AB-BO=7．
故答案为7．

点评 此题是旋转的性质题，主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的意义，旋转的性质，解本题的关键是锐角三角函数的意义的应用．