Question

如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1；
（2）求∠D的正弦值；
（3）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：作图—相似变换,三角形的外接圆与外心

专题：

分析：（1）根据网格结构，作出DE=2AB，EF=2BC，DF=2AC的三角形即可；
（2）作FG⊥DE于G，在Rt△DFG中利用正弦函数的定义即可求解；
（3）设点P的坐标为（x，y），根据“三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出点P的坐标．

解答：解：（1）如下图所示，△DEF即为所求；


（2）如图，作FG⊥DE于G，

∵在Rt△DFG中，FG=2，DG=6，
∴DF=

FG2+DG2

=

22+62

=2

10

，
∴sin∠D=

FG

DF

=

2

2 10

=

10

10

；

（3）设点P的坐标为（x，y）；
∵△ABC外接圆的圆心为P，
∴PA=PB=PC，
∵A（1，8），B（3，8），C（4，7），
∴（1-x）²+（8-y）²=（3-x）²+（8-y）²=（4-x）²+（7-y）²，
化简后得x=2，y=6，
因此点P的坐标为（2，6）．
故答案为（2，6）．

点评：本题考查了作图-相似变换，锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形的外接圆与外心，两点间的距离公式，难度适中．