Question

如图，坐标系中有抛物线c：y=x²+m和直线l：y=-2x-2．
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）变化m，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被它截得的线段长．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）把两函数的交点问题转化为一元二次方程根的情况：有两解析式组成方程组，消去y得到x²+m=-2x-2，整理得x²+2x+m+2=0，然后根据判别式的意义得△=2²-4（m+2）＜0，最后解关于m的不等式即可．
（2）根据题意求得抛物线的顶点坐标为（0，-2），代入抛物线的解析式即可求得m，联立方程，解方程即可求得交点坐标，然后根据勾股定理即可求得．

解答：解：（1）根据题意得x²+m=-2x-2，
整理得x²+2x+m+2=0，
因为抛物线c与直线l没有公共点，
所以△=2²-4（m+2）＜0，
解得m＞-1．
所以当m＞-1时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）∵抛物线c的顶点在直线l上，
∴抛物线c的顶点为（0，-2），
代入解析式得，m=-2，
∴抛物线的解析式为y=x²-2，
解

y=x2-2 y=-2x-2

得

x=0 y=-2

或

x=-2 y=2

，
∴直线l和抛物线的交点为（0，-2）和（-2，2），
∴直线l被抛物线截得的线段长=

(-2-0)2+(2+2)2

=2

5

．

点评：本题考查了二次函数的性质，把两函数的交点问题转化为一元二次方程根的情况是本题的关键．