Question

（1）已知矩形ABCD和点P，当P在BC上任一位置（如图1）时得到结论：PA²+PC²=PB²+PD²，请证明．
（2）当点P分别在矩形内部和矩形外部时，请你探究：PA²，PB²，PC²和PD²又有怎样的数量关系？请你对上述两种情况进行探究并写出证明过程．（图2和图3供你使用）

Answer 1

考点：勾股定理,矩形的性质

专题：

分析：（1）直接根据勾股定理即可得出结论；
（2）过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA²，PC²，PB²，PD²，然后我们可得出PA²+PC²与PB²+PD²，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我们将等式右边的值进行比较发现PA²+PC²=PB²+PD²．如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易证．

解答：证明：（1）∵Rt△ABP中，AB²=AP²-BP²，Rt△PDC中CD²=PD²-PC²，
∵AB=CD，
∴AP²-BP²=PD²-PC²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²；

（2）猜想：PA²+PC²=PB²+PD²．
如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC；
∵在Rt△AMP中，PA²=PM²+MA²，在Rt△BNP中，PB²=PN²+BN²，
在Rt△DMP中，PD²=DM²+PM²，在Rt△CNP中，PC²=PN²+NC²，
∴PA²+PC²=PM²+MA²+PN²+NC²，
PB²+PD²=PM²+DM²+BN²+PN²，
∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MD=NC，同理AM=BN，
∴PM²+MA²+PN²+NC²=PM²+DM²+BN²+PN²，即PA²+PC²=PB²+PD²．
如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵在Rt△AOP中，PA²=AO²+PO²，在Rt△PQB中，PB²=PQ²+QB²，
在Rt△POD中，PD²=DO²+PO²，在Rt△CQP中，PC²=PQ²+QC²，
∴PA²+PC²=PO²+OA²+PQ²+QC²，
PB²+PD²=PQ²+QB²+DO²+PO²，
∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形OQCD是矩形，
∴OD=QC，同理AO=BQ，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

点评：本题考查的是勾股定理，考查了矩形的性质中矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法．