Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是边BC上任意一点，求证：AB²-AP²=BP•CP．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADP=90°，由勾股定理得AB²=AD²+BD²，AP²=AD²-DP²，得出AB²-AP²=BD²-DP²=（BD+DP）（BD-DP），再由等腰三角形的性质得出BD=CD，即可得出结论．

解答 证明：作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB=∠ADP=90°，
∴AB²=AD²+BD²，AP²=AD²-DP²，
∴AB²-AP²=BD²-DP²=（BD+DP）（BD-DP）=BP（BD-DP），
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AB²-AP²=BP（BD-DP）=BP（CD-DP）=BP•CP．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、平方差公式；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理和平方差公式进行计算是解决问题的关键．