Question

7．如图，⊙0的弦CD平分AB，交点为E．
（1）求证：BE是CE、DE的比例中项；
（2）若AB=12cm，CD=13cm，求CE和DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B．∠A=∠D，推出△AEC∽△BDE，即可得到结论；
（2）由（1）证得BE²=CE•DE，求得CE•DE=36cm，即CE（CD-CE）=CE（13-CE）=36，解方程即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AC，BD，
∵∠C=∠B．∠A=∠D，
∴△AEC∽△BDE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{DE}{BE}$，
∴AE•BE=CE•DE，
∵CD平分AB，
∴AE=BE，
∴BE²=CE•DE，
即BE是CE、DE的比例中项；

（2）解：∵AB=12cm，CD=13cm，
∴AE=BE=6cm，CE+DE=13cm，
由（1）证得BE²=CE•DE，
∴CE•DE=36cm，
即CE（CD-CE）=CE（13-CE）=36，
解得：CE=4，或CE=9，
∴DE=9，或DE=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．