Question

如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB切⊙O于A、B两点，PO=4cm，∠APB=60°，求阴影部分的周长与面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：连接OA、OB，根据切线的性质定理求得∠AOB的度数，然后根据弧长公式求得弧AB的长，根据三角形求得PA和PB的长，则阴影部分的周长即可求得；四边形OABB的面积是△OPA的面积的2倍，然后减去扇形OAB的面积即可求得阴影部分的面积．

解答：解：连接OA、OB．
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=

1

2

∠APB=30°，
∴OA=

1

2

OP=2cm，∠AOB=120°，
∴PA=PB=OP•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm），
弧AB的长是：

120π×2

180

=

4π

3

（cm），
则阴影部分的周长是：2×2

3

+

4π

3

=4

3

+

4π

3

；
S_△OPA=

1

2

OA•PA=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
则S_{四边形OAPB}=4

3

，
又S_扇形OAB=

120π×22

360

=

4π

3

，
则S_阴影=4

3

-

4π

3

（cm²）．

点评：本题考查了切线的性质定理以及扇形和弧长的计算公式，正确求得圆的半径OA的长以及圆心角∠AOB的度数是关键．