Question

18．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，并且把⊙O三等分，若AB=a，试求△ABC的面积．

Answer 1

分析 由题意得出$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{AC}$，得出BC=AC=AB=a，得出∠B=60°，作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，由三角函数求出AD，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD，即可得出结果．

解答 解：∵A、B、C是⊙O上的三个点，并且把⊙O三等分，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{AC}$，
∴BC=AC=AB=a，
∴∠B=60°，
作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB=90°，
∴AD=AB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．

点评 本题考查了三角形的外接圆、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．