Question

8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与边AD、BC相交于E、F，垂足为O，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AFCE的边长．

Answer 1

分析 （1）根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO=CO，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；
（2）由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分对角线AC，
∴OA=OC，EF⊥EC，
∴△AOE≌△COF，
∴OA=OC，OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵∠AOF=90°，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC，
在Rt△ABF中，设AF=FC=x，则BF=8-x
∴AB²+BF²=AF²，
∴4²+（8-x）²=x²，
∴x=5，
∴菱形AFCE的边长等于5．

点评 此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．其中矩形的性质有对边平行且相等，四个角都为直角，对角线互相平行且相等；菱形的性质有四条边相等，对角线互相平分且垂直，一条对角线平分一组对角；菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．同时注意菱形的面积可以利用对角线乘积的一半来求．