Question

15．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分△ABC的外角∠ACE．求证：OD⊥AB．

Answer 1

分析 连结DA，CD平分△ABC的外角∠ACE，得到∠DCE=∠ACD，由圆内接四边形的性质得出∠DCE=∠BAD，进一步得出∠ACD=∠BAD，根据圆周角定理得$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，根据垂径定理即可证得OD⊥AB．

解答 证明：连结DA，如图，
∵弦CD平分△ABC的外角∠ACE，
∴∠DCE=∠ACD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCE=∠BAD，
∴∠ACD=∠BAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{AD}$，
∴OD⊥AB．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理以及圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．