Question

14．（1）如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，将△BCD绕点D逆时针旋转90°，则点B恰好落在点A处，得到旋转后的△AED，则AC、BC、CD满足的数量关系式是AC+BC=$\sqrt{2}$CD．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，若AB=13，BC=12，求CD的长．
（3）如图3，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）先判断出E、A、C三点共线，再用旋转的性质得出△CDE是等腰直角三角形，代换即可得出结论；
（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D₁，由（2）问题可知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD₁；又因为CD₁=D₁D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；

解答 解：（1）将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，
∴∠EAD=∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠EAD+∠DAC=180°，
∴E、A、C三点共线，
∴∠CAE为平角，
由旋转知，AE=BC，DE=CD，∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∵CE=AE+AC=BC+AC，
∴AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
故答案为：AC+BC=$\sqrt{2}$CD；

（2）连接AC、BD、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
将△BCD绕点D，顺时针旋转90°到△AED处，如图③，
∴∠EAD=∠DBC，
∵∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠EAD+∠DAC=180°，
∴E、A、C三点共线，
∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理可求得：AC=5，
∵BC=AE，
∴CE=AE+AC=17，
∵∠EDA=∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，
即∠EDC=∠ADB=90°，
∵CD=ED，
∴△EDC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∴CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；

（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D₁，
连接D₁A，D₁B，D₁C，如图④
由（2）的证明过程可知：AC+BC=$\sqrt{2}$D₁C，
∴D₁C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，
又∵D₁D是⊙O的直径，
∴∠DCD₁=90°，
∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB²=m²+n²，
∴D₁D²=AB²=m²+n²，
∵D₁C²+CD²=D₁D²，
∴CD=m²+n²-$\frac{（m+n）^{2}}{2}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2}$，
∵m＜n，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$；

点评 此题圆的综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，圆周角定理，旋转的性质等知识点，解本题的关键是就利用得出的结论来进行解决问题．