Question

3．如图，点P是等边三角形ABC内部一个动点，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圆．AP，BP的延长线分别交BC，AC于D，E．
（1）求证：CA，CB是⊙O的切线；
（2）已知AB=6，G在BC上，BG=2，当PG取得最小值时，求PG的长及∠BGP的度数．

Answer 1

分析 （1）连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，根据圆内接四边形的性质得到∠M=180°-∠APB=60°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠M=120°，求得∠BAC=60°，于是得到结论；
（2）作ON⊥AB于N，连接OG，当O，P，G在一条直线上时，PG最小，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）连接OA，OB，在⊙O上取一点M，连接AM，BM，
∴四边形APBM是圆内接四边形，
∴∠M=180°-∠APB=60°，
∵∠AOB=2∠M=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠OBC=90°，
∴CB是⊙O的切线；
同理CA是⊙O的切线；
（2）作ON⊥AB于N，连接OG，
当O，P，G在一条直线上时，PG最小，
∵AB=6，
∴BN=3，
∴OB=2$\sqrt{3}$，
∵∠OBG=90°，BG=2，tan∠OGB=$\sqrt{3}$，
∴∠OGB=60°，OG=4，
∴PG=4-2$\sqrt{3}$，
此时，∠BGP=60°．

点评 本题考查了切线的判定和性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．