Question

7．如图，已知△ABC中，∠BAC=60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，P为BE、CD的交点，连结AP，若AP=1，则AD+AE=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作PM⊥AC．PN⊥B垂足分别为M、N，先证明△PND≌△PME，△PAN≌△PAM，可以得AD+AE=$\sqrt{3}$AP即可解决问题．

解答 解：作PM⊥AC．PN⊥B垂足分别为M、N．
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴PA也是∠BAC的平分线，
∴PM=PN，
∵∠BAC=60°，
∴∠BPC=∠MPN=120°，
∴∠DPN=∠MPE，
在△PDN和△PEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPN=∠MPE}\\{∠PND=∠PME}\\{PN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PND≌△PME，
∴DN=EM，
在△APN和△APM中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PN=PM}\end{array}\right.$，
∴△PAN≌△PAM，
∴AN=AM，
在RT△PAM中，∵∠PAM=30°，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA，
∴AD+AE=AN+DN+AM-EM=2AM=$\sqrt{3}$PA，
∵PA=1，
∴$AD+AE=\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．