Question

15．若满足不等式$\frac{8}{15}＜\frac{n}{n+k}＜\frac{7}{13}$的整数k只有一个，则正整数n的最大值112．

Answer 1

分析 对不等式进行变换把分子变成1，再根据分母越大数越小可得关于$\frac{k}{n}$的范围，再将两分数变成同分母，根据整数k只有一个可得n的值．

解答 解：对不等式进行变换，即分子变成1：$\frac{1}{1+\frac{7}{8}}＜\frac{1}{1+\frac{k}{n}}＜\frac{1}{1+\frac{6}{7}}$
分母越大，则数越小，所以有：$1+\frac{7}{8}＞1+\frac{k}{n}$且1+$\frac{k}{n}$＞1+$\frac{6}{7}$，
即：$\frac{6}{7}$＜$\frac{k}{n}$＜$\frac{7}{8}$，
变成同分母：$\frac{96}{112}＜\frac{k}{n}＜\frac{98}{112}$
∴整数k只有一个，
∴k=97，此时n=112．
故答案为：112．

点评 本题主要考查一元一次不等式组的应用、分式的值的问题，正确对分式进行转化是解决本题的关键．