已知.如图.在平面直角坐标系中.点A.B.C分别在坐标轴上.且OA=OB=OC.S△ABC=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动.连接PA.PB.D为线段AC的中点．(1)求D点的坐标,(2)设点P运动的时间为t秒.求当t为何值时.DP与DB垂直相等,(3)若PA=PB.在第四象限内有一动点Q.连QA.QB.QP.且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，S_△ABC=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA、PB，D为线段AC的中点．
（1）求D点的坐标；
（2）设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，DP与DB垂直相等；
（3）若PA=PB，在第四象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30°．当Q在第四象限内运动时，判断△APQ的形状，并说明理由．

分析（1）利用OA=OB=OC，且△ABC面积为25可得到OA、OB、OC的长，再由D是AC中点，由中点坐标公式可得D点坐标；
（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，得出△MDB≌△NDP，进而得到t的值；
（3）在y轴负半轴上取M点，使其与A、B构成等边三角形，再证△ABQ≌△BMP，得到AQ=BP=AP，从而得到△APQ是等腰三角形．

解答解：（1）设OA=OB=OC=a，则AB=OA+OB=2a，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•OC=a²=25，
解得：a=5．
故点A（-5，0），点B（5，0），点C（0，-5）．
又∵D为线段AC的中点，
∴点D坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（2）过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如答图1：
∵D坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
∴DM=DN，∠MDN=90°，
∵∠MDB+∠BDN=90°，∠DNP+∠BDN=90°，
∴∠MDB=∠DNP，
∴△MDB≌△NDP（ASA），
∴PN=BM=7.5，PC=5，
∴t=5．
（3）△APQ是等腰三角形；理由如下：
在y轴负半轴上取一点M，使AM=AB，
∴△ABM为等边三角形，
∵∠PBQ+∠QAB=30°，∠PBQ+∠PBM=30°，
∴∠QAB=∠PBM，
∵∠BMO=∠ABQ=30°，
∴△ABQ≌△BMP（ASA），
∴AQ=BP，
又∵BP=AP，
∴AQ=AP，
∴△APQ是等腰三角形．