Question

6．如图，AB是⊙O的弦，点O关于AB的对称点C在⊙O上，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，请直接写出BD的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明BD是⊙O的切线，只要证明∠OBD=90°，先四边形AOBC是菱形，得OB∥AD，根据两直线平行同旁内角互补即可解决问题．
（2）连接OC，先证明△OBC，△OAC都是等边三角形，在RT△BCD中利用30度性质即可解决问题．

解答 （1）证明：∵点O关于AB的对称点C在⊙O上，
∴AO=AC，BO=BC，
∵AO=OB，
∴AO=OB=BC=CA，
∴四边形AOBC是菱形，
∴AD∥OB，
∴∠D+∠OBD=180°，
∵BD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴DB是⊙O的切线．
（2）连接OC，由（1）可知四边形AOBC是菱形，
∴OB=OC=BC=OA=AC，
∴△OBC，△OAC都是等边三角形，
∴∠BCO=∠ACO=60°，
∴∠ACB=120°，
∴∠BCD=180°-∠ACB=60°，
在RT△BCD中，∵∠D=90°，BC=2，∠DBC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查切线的判定、菱形的判定、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用圆的有关知识，掌握切线的判定方法，属于中考常考题型．