Question

7．如图，动直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x²-3x和y=x²-4x于点P，E，F，设点A，B为抛物线y=x²-3x，y=x²-4x与x轴的一个交点，连结AE，BF．
（1）求点A，B的坐标．
（2）当m＜3时，判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）连结BE，当$\frac{AE}{BF}=\frac{1}{2}$时，求△BEF的面积．

Answer 1

分析 （1）把y=0分别代入y=x²-3x和y=x²-4x中，进而得出A，B点坐标；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠PAE=∠PBF，进而得出直线AE与BF的位置关系；
（3）利用AE∥BF，得出△PAE∽△PBF，进而求出m的值，即可得出△BEF的面积．

解答 解：（1）把y=0分别代入y=x²-3x和y=x²-4x中，得
x²-3x=0，
解得：x₁=0，x₂=3，
x²-4x=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（4，0）；

（2）直线AE和BF的位置关系是AE∥BF，
理由如下：
由题意得，点E的坐标为（m，m²-3m），
点F的坐标为（m，m²-4m），
∴tan∠PAE=$\frac{PE}{PA}$=$\frac{3m-{m}^{2}}{3-m}$=m，
∴tan∠PBF=$\frac{PF}{PB}$=$\frac{4m-{m}^{2}}{4-m}$=m，
∴∠PAE=∠PBF，
∴AE∥BF；

（3）如图1，
∵AE∥BF，
∴△PAE∽△PBF，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{3-m}{4-m}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=2，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF•PB=$\frac{1}{2}×$2×2=2；
如图2，∵AE∥BF，
∴△PAE∽△PBF，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{m-3}{4-m}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=$\frac{10}{3}$，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}•$EF•PB=$\frac{1}{2}×$$\frac{10}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{9}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质、锐角三角函数关系等知识，正确利用数形结合、分类讨论得出m的值是解题关键．