Question

9．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OB=8，D为边OB的中点．
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标为（2，0）；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=3，当四边形CDEF的周长最小时，则点E的坐标为（1，0）．

Answer 1

分析 （1）由于C、D是定点，则CD是定值，如果△CDE的周长最小，即DE+CE有最小值．为此，作点C关于x轴的对称点C′，当点E在线段C′D上时，△CDE的周长最小；
（2）由于DC、EF的长为定值，如果四边形CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG=3，当点E在线段D′G上时，四边形CDEF的周长最小．

解答 解：（1）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点E，连接CE．

若在边OA上任取点E′（与点E不重合），连接CE′、DE′、C′E′，
由DE′+CE′=DE′+C′E′＞C′D=C′E+DE，
可知△CDE的周长最小．
∵在矩形OACB中，OA=6，OB=8，D为边OB的中点，
∴BC=6，BD=OD=4，
∴点D（0，4），点C′（6，-8）．
设直线C′D的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{6k+b=-8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线C′D的解析式为y=-2x+4．
当y=-2x+4=0时，x=2，
∴点E的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
（2）作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG=3，连接D′E与x轴交于点E，在EA上截取EF=3，如图2所示．

∵GC∥EF，GC=EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，GE=CF．
又∵DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小，
∵OE∥BC，
∴△D′OE∽△D′BG，
∴$\frac{OE}{BG}=\frac{D′O}{D′B}$，
BG=BC-CG=6-3=3，D′O=DO=4，D′B=D′O+OB=4+8=12，
∴OE=$\frac{D′O•BG}{D′B}$=$\frac{4×3}{12}$=1．
即点E的坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．