Question

20．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若CF=3，cosA=$\frac{2}{5}$，求出⊙O的半径和BE的长；
（3）连接CG，在（2）的条件下，求$\frac{CG}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由D是BC中点，OC=OA，易得OD是△ABC的中位线，可得OD∥AB，又由DE⊥AB，可得DE⊥OD，即可证得直线EF是⊙O的切线；
（2）由OD∥AB，易得∠COD=∠A，又由CF=3，cosA=$\frac{2}{5}$，设⊙O的半径为R，可得$\frac{R}{R+3}$=$\frac{2}{5}$，则可求得⊙O的半径，则可求得AB的长，继而求得答案；
（3）首先连接CG，易证得CG∥EF，然后由平行线分线段成比例定理，求得答案．

解答 （1）证明：如图，连结OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，
∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{2}{5}$，
设⊙O的半径为R，则$\frac{R}{R+3}$=$\frac{2}{5}$，
解得R=2，
∴AB=2OD=4．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AE}{4+3}$=$\frac{2}{5}$，
∴AE=$\frac{14}{5}$，
∴BE=AB-AE=4-$\frac{14}{5}$=$\frac{6}{5}$；

（3）解：连接CG，则∠AGC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴CG∥EF，
∴$\frac{CG}{EF}$=$\frac{AC}{AF}$=$\frac{2R}{2R+CF}$=$\frac{2×2}{2×2+3}$=$\frac{4}{7}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、三角形中位线的性质、平行线分线段成比例定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．