Question

6．已知$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{15}$，求$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值．

Answer 1

分析 先根据题意得出$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$，$\frac{1}{z}$的值，进而可得出$\frac{xy+yz+zx}{xyz}$的值，由此可得出结论．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{6}$①，$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{9}$②，$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{15}$③，
∴①-②+③得，$\frac{1}{x}$=$\frac{11}{180}$，代入①得，$\frac{1}{y}$=$\frac{19}{180}$，把$\frac{1}{y}$=$\frac{19}{180}$代入③得，$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{180}$，
∴$\frac{xy+yz+zx}{xyz}$=$\frac{1}{z}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{180}$+$\frac{11}{180}$+$\frac{19}{180}$=$\frac{31}{180}$，
∴$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$=$\frac{180}{31}$．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．