Question

14．当-b≤x≤b时，二次函数y=-3x²-3x+4b²+$\frac{9}{2}$的最大值是7，则b=±$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 首先求得抛物线的对称轴为x=$-\frac{1}{2}$，当|b|＜$\frac{1}{2}$时，x=-b时，二次函数有最大值，当|b|≥$\frac{1}{2}$时，x=-$\frac{1}{2}$时，二次函数有最大值，最后根据最大值为7列方程求解即可．

解答 解：抛物线的对称轴为x=$-\frac{1}{2}$，
当|b|＜$\frac{1}{2}$时，x=-b时，二次函数有最大值，根据题意得：-3b²+3b+4b²+$\frac{9}{2}$=7，解得：${b}_{1}=\frac{-3+\sqrt{19}}{2}$（舍去），${b}_{2}=\frac{-3-\sqrt{19}}{2}$（舍去）；
当当|b|≥$\frac{1}{2}$时，x=-$\frac{1}{2}$时，二次函数有最大值，根据题意得：-3×$\frac{1}{4}$-3×（-$\frac{1}{2}$）+4b²+$\frac{9}{2}$=7．
解得：b=±$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查得是二次函数的最值，根据|b|与抛物线的对称轴之间的位置关系进行讨论是解题的关键．