Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴交抛物线于点D、交直线BC于点E，连接DB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴上求一点M，使以C、E、M为顶点的三角形与△BDE相似．
（3）抛物线上是否存在点P，使△PBE与△DBE的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出点D的坐标，再求出点E的坐标，然后求出DE、BE、CE，再根据相似三角形对应边成比例分两种情况求出EM，然后求出点M到x轴的距离，最后写出点M的坐标即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等分两种情况求出点P所在的直线，然后与抛物线解析式联立求解即可．

解答 解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以，抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
易求直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=-1+3=2，
所以，点E的坐标为（1，2），
∴DE=4-2=2，
BE=$\sqrt{（3-1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
CE=$\sqrt{（3-2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
①若EM与DE是对应边，则△CME∽△BDE，
所以，$\frac{EM}{DE}$=$\frac{CE}{BE}$，
即$\frac{EM}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
解得EM=1，
所以，点M到x轴的距离为2-1=1，
所以，点M的坐标为（1，1），
②若EM与BE是对应边，则△MEC∽△BED，
所以，$\frac{EM}{BE}$=$\frac{CE}{DE}$，
即$\frac{EM}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得EM=2，
所以，点M的纵坐标为2-2=0，
所以，点M的坐标为（1，0），
综上所述，存在点M（1，0）或（1，1），使以C、E、M为顶点的三角形与△BDE相似；

（3）∵D（1，4），E（1，2），
∴由等底等高的三角形的面积相等可知，要使△PBE与△DBE的面积相等，
过点P的直线与BC平行且经过点（1，4）或（1，0），
易求过（1，4）且与直线BC平行的直线为y=-x+5，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$（为点D的坐标，舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
所以，点P的坐标为（2，3），
易求过点（1，0）与直线BC平行的直线为y=-x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
所以，点P的坐标为（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），
综上所述，抛物线上存在点P（2，3）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），使△PBE与△DBE的面积相等．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，三角形的面积，（2）要分情况讨论是解题的难点，（3）考虑利用等底等高的三角形的面积相等确定出点P所在的直线是解题的关键．