Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E是AC上的点EG⊥BC，EF⊥AB．
（1）试猜测DE与FG关系如何？并说明理由
（2）如果正方形ABCD的边长为4cm，求四边形BGEF的周长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；首先证明△ABE≌△ADE，得到BE=DE；证明四边形EFBG为矩形，得到FG=BE，即可解决问题．
（2）证明AF=EF，进而得到BF+EF=BF+AF=AB=4；证明四边形BGEF的周长=2（BF+EF），即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接BE；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC；
在△ABE与△ADE中，

AB=AD ∠BAE=∠DAE AE=AE

，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE；
∵EG⊥BC，EF⊥AB，∠FBG=90°，
∴四边形EFBG为矩形，
∴FG=BE，
∴DE=FG．
（2）∵∠EAF=45°，EF⊥AF，
∴∠AEF=∠EAF=45°，
∴AF=EF，BF+EF=BF+AF=AB=4，
∵四边形BGEF为矩形，
∴四边形BGEF的周长=2（BF+EF）=8（cm）．

点评：该题主要考查了正方形的性质、矩形的判定及其性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；应牢固掌握全等三角形的判定及其性质等几何知识点．