Question

11．已知：在?ABCD中，∠BAD=45°，AB=BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H

（1）如图1，若点E与点C重合，且AF=$\sqrt{5}$，求AD的长；
（2）如图2，连接FH，求证：∠AFB=∠HFB；
（3）如图3，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接写出AF与FH的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得∠ABD=90°，利用平行四边形的性质可得F为BD中点，在Rt△ABF中，由勾股定理可求得BF，则可求得AB，在Rt△ABD中，再利用勾股定理可求得AD；
（2）如图2中，在AF上截取AK=HD，连接BK，可先证明△ABK≌△DBH，再证明△BFK≌△BFH，可证得结论；
（3）如图3中，延长FH、AB交于点N，作BK∥AH交FN于K，首先证明FA=FN，再证明FH=HK=KN，即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，∵AB=BD，∠BAD=45°，
∴∠BDA=∠BAD=45°，
∴∠ABD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴E、C重合时BF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AB，
在RT△ABF中，∵AF²=AB²+BF²，
∴（$\sqrt{5}$）²=（2BF）²+BF²，
∴BF=1，AB=2，
在RT△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
（2）证明：如图2中，在AF上截取AK=HD，连接BK，
∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3，∠ABF=∠FGD=90°，
∴∠2=∠3，
在ABK和△DBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠2=∠3}\\{AK=HD}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△DBH，
∴BK=BH，∠6=∠1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠1=∠6=45°，
∴∠5=∠ABD-∠6=45°，
∴∠5=∠1，
在△FBK和△FBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{∠5=∠1}\\{BK=BH}\end{array}\right.$，
∴△FBK≌△FBH，
∴∠BFK=∠BFH．
（3）结论AF=3FH．
理由：如图3中，延长FH、AB交于点N，作BK∥AH交FN于K．
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠BFN+∠N=90°，∠BFN=∠BFA，
∴∠FAB=∠N，
∴FA=FN，
∵FB⊥AN，
∴AB=BN，
∵BK∥AH，
∴HK=KN，
∵FM=BM，MH∥BK，
∴FH=HK，
∴FH=HK=FN．
∴FN=3FH，
∵AF=FN，
∴AF=3FH．

点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．