Question

在直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，三点坐标A（2，0），B（2，2），C（0，2）．点M是BC边上的中点，点P（0，m）是线段OC上的一个动点（C除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D坐标（用含m的代数式表示）．
（2）若点Q是坐标平面内的一点，以APDQ为顶点的四边形是菱形，分别求出QP的坐标．

Answer 1

考点：正方形的性质,坐标与图形性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）首先根据题意画出图形画出图形，由P，M的坐标可得直线PM的方程，易求D的横坐标为2，把x=2代入即可求出其纵坐标；
（2）根据勾股定理可求出AP，DP的长，由菱形的性质可得AP=PD由此可求出Q和P的坐标．

解答：解：（1）设过P，M的直线为y=kx+b，把P（0，m），M（1，2）代入得：

m=b 2=k+b

，
解得：

k=2-m b=m

．
∴PM的直线方程为y=（2-m）x+m．
将x=2代入，得y=4-m
∴D坐标为（2，4-m）；

（2）由勾股定理可得AP²=m²+4，PD²=4m²-16m+20，
∵APDQ为顶点的四边形菱形，
∴AP=PD，
∴m²+4=4m²-16m+20，
解得：m=4或m=

4

3

，
又∵4-m＞2，
∴m=

4

3

∴P坐标为（0.

4

3

）D坐标为（2，

8

3

）
∴Q坐标为（4，

8

3

）．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确画出题目的图形．