Question

如图，在△ABC中，AD、CE分别为BC、AB边上高，且BE：BC=1：2，∠DAC=45°，DE=3，求△ABC三边的长．

Answer 1

考点：勾股定理,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

专题：

分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠BCE=30°，根据同角的余角相等求出∠BAD=30°，再求出

BD

AB

=

1

2

，然后利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似求出△ABC和△DBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC，再根据等腰直角三角形的性质求出AD、CD，再解直角三角形求出AB、BD，然后求解即可．

解答：解：∵CE是AB边上的高，BE：BC=1：2，
∴∠BCE=30°，
有∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=∠BCE=30°，
∴

BD

AB

=

1

2

，
∴

BD

AB

=

BE

BC

=

1

2

，
又∵∠ABC=∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴

DE

AC

=

BE

BC

=

1

2

，
∵DE=3，
∴AC=2×3=6，
∵∠DAC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD=

2

2

×6=3

2

，
在Rt△ABD中，AB=AD÷cos30°=3

2

÷

3

2

=2

6

，
BD=

1

2

AB=

1

2

×2

6

=

6

，
BC=BD+CD=

6

+3

2

，
所以△ABC三边的长分别为2

6

；

6

+3

2

；6．

点评：本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，求出三角形相似并求出AC的长解题的关键，也是本题的难点．