Question

如图，A、B两个村子在河CD的同侧，AB²=13km，A、B两村子到河的距离分别为AC=1km，BD=3km．现在要在河边CD上建一水厂，向A、B村输送自来水，铺设水管的工程费为每千米3000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管费用的最省，并求出铺设水管的总费用W．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：根据题意构造直角三角形，进而得出AF的长，再求出A′B的长，即可得出答案．

解答：解：如图所示：过点A作AF⊥BD于点F，过点A′作A′E⊥BD延长线于点E，
由题意可得：A点关于CD的对称点为A′，连接A′B交CD于点O，此时AO+BO最小，
∵AC=1km，BD=3km，
∴BF=2km，DE=1km，
∵AB²=13km，
∴AF=

13-22

=3（km），
在Rt△BA′E中
A′E²+BE²=A′B²，
即3²+4²=A′B²，
解得：A′B=5，
则AO+BO=5（km），
故铺设水管的总费用W=5×3000=15000（元）．

点评：此题主要考查了轴对称求最短路径，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为几何模型，把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．