Question

7．已知：a，b是关于x的方程（m-1）x²+2x-1=0的两个不相等的实数根，当m取最小整数时，则a³-a²+7b-1998的值为-2015．

Answer 1

分析 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=2²-4（m-1）（-1）＞0，解不等式求出m＞0且m≠1，那么m满足条件的最小整数为2，则原方程化为x²+2x-1=0，再根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系得出a²+2a-1=0，a+b=-2，即a²+2a=1，然后将a³-a²+7b-1998变形为a（a²+2a）-3a²+7b-1998=a-3a²+7b-1998=-3（a²+2a）+7（a+b）-1998，代入计算即可．

解答 解：根据题意得m-1≠0且△=2²-4（m-1）（-1）＞0，
解得m＞0且m≠1；
所以m满足条件的最小整数为2，则原方程化为x²+2x-1=0，
∵a，b是方程的两个根，
∴a²+2a-1=0，a+b=-2，
∴a²+2a=1，
∴a³-a²+7b-1998=a（a²+2a）-3a²+7b-1998
=a-3a²+7b-1998
=-3（a²+2a）+7a+7b-1998
=-3+7（a+b）-1998
=-3+7×（-2）-1998
=-2015．
故答案为-2015．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．