Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米．AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动的时间为t秒．
（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得PM=AP+BM？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；
（2）根据直角三角形面积求出PD×DC×$\frac{1}{2}$=15即可求出t；
（3）根据题意列出PD、MD的表达式，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．

解答 解：（1）如图1，

∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，
∴AD²=AC²-CD²
∴AD=12cm．

（2）如图2，

由题意可得：AP=t，PD=12-t，
又∵由△PDM面积为：$\frac{1}{2}$PD×DC=15，
解得：PD=6，
∴t=6．

（3）假设存在t，使得PM=AP+BM．
①若点M在线段CD上，如图3，

即 0≤t≤$\frac{5}{2}$时，AP=t，PD=12-t，DM=5-2t，BM=10-2t
则PM=$\sqrt{P{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（12-t）^{2}+（5-2t）^{2}}$，
故$\sqrt{（12-t）^{2}+（5-2t）^{2}}$=t+10-2t
整理得：4t²-24t+69=0，
△=b²-4ac=-528＜0，故此方程无解；
②如图4，

若点M在线段DB上，即 $\frac{5}{2}$＜t≤5，
AP=t，PD=12-t，DM=2t-5，BM=10-2t，
则PM=$\sqrt{P{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（12-t）^{2}+（2t-5）^{2}}$，
故$\sqrt{（12-t）^{2}+（2t-5）^{2}}$=t+10-2t
整理得：4t²-24t+69=0，
△=b²-4ac=-528＜0，故此方程无解；
③如图5，

若点M在射线DB上，即 5＜t≤12，
AP=t，PD=12-t，DM=2t-5，BM=2t-10，
PM=$\sqrt{M{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{（2t-5）^{2}+（12-t）^{2}}$，
则$\sqrt{（2t-5）^{2}+（12-t）^{2}}$=t+2t-10，
整理得：
4t²-24t-69=0
解得t₁=$\frac{6-\sqrt{105}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{6+\sqrt{105}}{2}$，
故当t=$\frac{6+\sqrt{105}}{2}$，使得PM=AP+BM．

点评 此题主要考查了三角形综合以及勾股定理等知识，此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．