Question

17．已知，FA，DF分别平分∠EAC，∠CDB，试探索∠C，∠F，∠B之间的关系．

Answer 1

分析 先根据角平分线的性质得出∠1=$\frac{1}{2}$∠EAC，∠NDF=$\frac{1}{2}$∠NDC，再由三角形外角的性质得出∠1=$\frac{1}{2}$（∠B+∠AMB），∠3=180°-（∠F+∠NDF）=180°-（∠F+$\frac{1}{2}$∠NDC），∠2=∠NDC+∠C，根据三角形内角和定理即可得出结论．

解答 解：∵FA，DF分别平分∠EAC，∠CDB，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠EAC，∠NDF=$\frac{1}{2}$∠NDC．
∵∠EAC是△ABM的外角，∠AND是△ABM的外角，
∴∠1=$\frac{1}{2}$（∠B+∠AMB），∠3=180°-（∠F+∠NDF）=180°-（∠F+$\frac{1}{2}$∠NDC），
同理∠2=∠NDC+∠C，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠AMB=180°-∠C-∠NDC，
∴$\frac{1}{2}$（∠B+180°-∠C-∠NDC）+180°-（∠F+$\frac{1}{2}$∠NDC）+∠NDC+∠C=180°，
∴$\frac{1}{2}$（∠B+∠F）=2∠F-90°．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．