Question

11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线F：y=ax²+2ax+c经过A（-4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求点B关于直线y=x+5的对称点B′，并判断点B′是否在抛物线的对称轴上；
（3）画出函数y=|ax²+2ax+c|的图象F′，并写出过点B且与图象F′恰有三个公共点的直线表达式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，连接BB′交DE于K．求出B′的坐标即可解决问题．
（3）如图2中，当直线y=kx+4与抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4只有一个交点时，过点B且与图象F′恰有三个公共点，把问题转化为方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$只有一组解即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-4，0），B（0，4）两点坐标代入y=ax²+2ax+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{16a-8a+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴顶点坐标为（-1，$\frac{9}{2}$）．

（2）如图1中，连接BB′交DE于K．

∵直线DE的解析式为y=x+5，BB′⊥DE，
∴直线BB′的解析式为y=-x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=x+5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴K（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$），
∵BK=KB′，
∴B′（-1，5），
∵抛物线的对称轴x=-1，
∴点B′在抛物线的对称轴上．

（3）如图2中，当直线y=kx+4与抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4只有一个交点时，过点B且与图象F′恰有三个公共点

由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$消去y得到x²+（2+2k）x=0，
由题意△=0，∴2+2k=0，
∴k=-1，
∴过点B且与图象F′恰有三个公共点的直线表达式为y=-x+4．

点评 本题考查二次函数与坐标轴的交点、一次函数的应用、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．