Question

15．如图，直线AB的函数表达式为y=$\frac{m}{4}$x-m（m≠0，m为常数），点A、B分别在x轴、y轴上，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$，点B关于x轴的对称点为点C，以D（-6，0）为顶点的抛物线经过点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上有点P，以点的C，O，P为顶点的△COP与△ABO相似，请求出点P的坐标；
（3）动点Q在抛物线上，当点Q到直线AB的距离最小时，求出点Q的坐标及最小距离．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B、C坐标，根据顶点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+6）²，把C（0，3）代入求出a即可．
（2）分两种情形讨论，①当点P在原点O左边，满足$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$时，△POC∽△AOB，②当点P在原点O左边，满足$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$时，△POC∽△BOA，
求出P₁，P₂后，再求出P₃、P₄即可．
（3）如图2中，设Q[n，$\frac{1}{12}$（n+6）²]，作QN⊥AB于N，QM∥BC交AB于M，则M（n，$\frac{3}{4}$n-3），首先说明△MQN的三个内角是固定不变的，欲求QN的最小值，只要求出QM的最小值即可，再根据QN的最小值=QM•cos∠MQN=QM•cos∠OAB计算即可．

解答 解：（1）∵直线AB的函数表达式为y=$\frac{m}{4}$x-m，
∴A（4，0），B（0，-m），
在Rt△AOB中，∵OA=4，tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{OB}{OA}$，
∴OB=3，m=3，
∴B（0，-3），
∵B、C关于x轴对称，
∴C（0，3），
∵抛物线的顶点为（-6，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x+6）²，把C（0，3）代入得a=$\frac{1}{12}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{12}$（x+6）²．

（2）如图1中，

①当点P在原点O左边，满足$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$时，△POC∽△AOB，
∴$\frac{OP}{4}$=$\frac{3}{3}$，
∴OP=4，可得P₁（-4，0）．
②当点P在原点O左边，满足$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$时，△POC∽△BOA，
∴$\frac{OP}{3}$=$\frac{3}{4}$，
∴OP=$\frac{9}{4}$，可得P₂（-$\frac{9}{4}$，0）．
③根据对称性可知当P₃（$\frac{9}{4}$，0），P₄（4，0）时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点P坐标为（-4，0）或（-$\frac{9}{4}$，0）或（4，0）或（$\frac{9}{4}$，0）．

（3）如图2中，设Q[n，$\frac{1}{12}$（n+6）²]，作QN⊥AB于N，QM∥BC交AB于M，则M（n，$\frac{3}{4}$n-3），

∵∠MQN+∠AMQ=90°，∠AMQ+∠BAO=90°，
∴∠MQN=∠BAO，
∴△MQN的三个内角是固定不变的，
∴欲求QN的最小值，只要求出QM的最小值即可，
∵QM=$\frac{1}{12}$（n+6）²-（$\frac{3}{4}$n-3）=$\frac{1}{12}$（n+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{93}{16}$，
∵$\frac{1}{12}$＞0，
∴n=-$\frac{3}{2}$时，QM的最小值为$\frac{93}{16}$，
∴QN的最小值=QM•cos∠MQN=QM•cos∠OAB=$\frac{93}{16}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{93}{20}$．

点评 本题考查二次函数的综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用首先知识，学会用转化的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，第三个问题的关键是把求QN的最小值，转化为求QM的最小值，属于中考压轴题．